Was ist Banachraum?
Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Vektorraum in der mathematischen Analyse. Das heißt, der Abstand zwischen Vektoren konvergiert näher zueinander, wenn die Sequenz fortschreitet. Der Begriff ist nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach (1892-1945) benannt, der als einer der Begründer der Funktionsanalyse gilt.
In der Informatik hat der Mathematiker Shahar Mendelson den Banach-Raum im maschinellen Lernen genutzt, um die Fehler von Algorithmen des maschinellen Lernens zu begrenzen.
In der funktionalen Analyse ist ein Banach-Raum ein normierter Vektorraum, der die Vektorlänge berechnet. Wenn der Vektorraum normiert ist, bedeutet dies, dass jeder andere Vektor als der Nullvektor eine Länge hat, die größer als Null ist. Die Länge und der Abstand zwischen zwei Vektoren kann somit berechnet werden. Der Vektorraum ist vollständig, was bedeutet, dass eine Cauchy-Folge von Vektoren in einem Banach-Raum gegen eine Grenze konvergieren wird. Wenn die Sequenz fortschreitet, kommen die Abstände zwischen Vektoren willkürlich näher zusammen.
Banachräume sind in der Funktionsanalyse weit verbreitet, wobei andere Räume in der Analyse Banachräume sind. In der Computerwissenschaft wurden Banachräume auch auf maschinelle Lernalgorithmen angewendet, um den Generalisierungsfehler zu messen, oder wie genau ein maschineller Lernalgorithmus ist. Insbesondere der Mathematiker Shahar Mendelson hat mit den Banachräumen die Zuverlässigkeit von maschinellen Lernalgorithmen verbessert.